洗濯物を干すという行為は想像以上に湿度を上げます。ましてやこの冬の寒い時期には気温が低いので、空気中の飽和水蒸気量が少なく湿度が高く出ます。そしてお部屋の容積も小さなようですので、一気に湿度が上がり除湿機をつけても上がり続けると思います。
拙宅の場合、同じく６畳くらいの寝室に洗濯物をよく干すのですが、その６条は隣の８畳ほどの部屋とつながっています。そこに１２畳以上の除湿機兼空気清浄機（結構高かったやつです）をつけても、普通に４０％→６０％くらいまで湿度が上がります。つけないとそれ以上に上がります。除湿だけでなく気温も上げたいところですね。ただ洗濯干し専用に作った部屋だとするとエアコンなどはなさそうですね。

方法の一つとして、ユニットバスについているような浴室換気暖房乾燥機をそのランドリールームの天井につけるというやり方があります。天井にふところがないと取り付けられないのと、電源と換気ダクトを通すことが必要ですが、これが一番確実な方法かなぁと思います。
もしくは家電で済まそうとすれば、除湿機をもっとパワフルにして合わせて暖房もしたいですね。換気扇でどうにかしようとしたらカビが生えないためには壁はみな浴室パネルのようなカビに強いものにしなきゃダメでしょうが、渇きは遅いと思います。調湿する壁材はあくまで吸ったり吐いたりなので洗濯物を入れた瞬間吸いきって飽和しあまり効果がないのでは。

注意点として、洗濯物を干してユニットバスの換気扇をつけると、湿気が引っ張られて、間にある洗面所の壁なども結露してしまう恐れがあるので気をつけてください。そんなお宅を見たことがあるので。健闘を祈ります。

熱リサイクル方式(再加熱方式)のエアコンの設置がお勧めです。
ランドリーモードというのがありまして、これを付けるとあっと言う間に洗濯物が乾きますし、部屋の湿度管理もバッチリです。
これ一台で除湿器8台分くらいの除湿能力があります。
また、温度を下げずに湿度を下げるという機能があります。
電気屋さんに熱リサイクル方式かどうかを確認して取り付けてもらうといいでしょう。
ちなみに拙宅のエアコンは全てこの方式です。
なお、部屋の湿度は50パーセント程度にしておくと、カビは生えなくなります。
我が家は和室(本来は客間)に洗濯物を干していますが、カビとは無縁の生活ですし、洗濯物もすぐに乾きます。