写真が付いておらず、状況のロケーションを把握できないため、回答する側も戸惑っております。
雨樋がついていなければ、雨だれが垂れ落ちるのは必然です。
その雨だれでどのような不具合が生じているかも明白でありません。
文末にコンクリートが茶色になっているとのことですが、その因果関係も掌握できません。

いずれにしても雨垂れを落とさない方法については、現場の状況を把握している業者さんと、しっかりと打ち合わせして対応すべきです。
見た目の問題と雨垂れ不具合の解消のどちらを選択するかは、住む人の判断となるのでしょう。また施工費用負担につては、工事約定や建主さんとの遣り取りなどによっても異なります。
したがってこのようなネット相談での限界をご理解ください。

日本瓦を使用すると切妻側の端部は、切妻側に雨水が落ち難い形状になっております。それでも皆無でなく多少は妻側への雨垂れは避けきれません。

本質問の瓦は平瓦です。
平瓦の納まりは、メーカーや種類によっても異なりますが、本件の平瓦の妻側端部の役モノは、上部に面する平らな部分がかなり広くなっております。
この平瓦の形状特性なのでしょう。

瓦の選定は、外観バランスや価格などを考慮して行われます。
本建造物は、どのような理由で平瓦を選択したかの経緯は解りませんが平瓦の形状を善しとして選んだとすると、妻側への水切りが不十分になります。
妻側端部の樋も付けられないこともありませんが、それこそ美観を損ねます。

下の犬走りが雨垂れでの汚れが気になるようであれば、コンクリート仕上げの場合は人工芝などを敷きます。
コンクリートでなければ細かい砂利などを敷いて雨の跳ね上がりを防ぐことができます。
費用分担に関しては、経緯が解らないので回答できませんので悪しからずお許しください。